Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 06

[matematikolimpiyati]

Bir kitap rafında $15$ i mavi, $2$ si kırmızı kaplı $17$ kitap dizili durmaktadır. Bu raftan rastgele ardışık üç kitap alındığında bunların içinde en az bir tane kırmızı kaplı kitabın bulunması olasılığının $\dfrac{1}{5}$ olduğu bilinmektedir. Aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$\textbf{a)}$ İki kırmızı kaplı kitabın arasında tam olarak bir mavi kaplı kitap vardır.
$\textbf{b)}$ Kırmızı kaplı kitaplardan biri kitap sırasının en sonundadır.
$\textbf{c)}$ İki kırmızı kaplı kitap bitişiktir.
$\textbf{d)}$ Kırmızı kaplı kitaplardan hiçbiri kitap sırasının en başında değildir.
$\textbf{e)}$ Hiçbiri

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$17$ kitap arasından ardışık üç kitap $(1,2,3)$, $(2,3,4)$, $\ldots$, $(15,16,17)$ olmak üzere $15$ farklı şekilde seçilebilir. Bu durumda istenen olasılığın $\dfrac 15$ olması için en az bir kırmızı kitabın olduğu ardışık üçlülerin sayısının tam olarak $3$ olması gerekir.

$MMM\dots MMMKMK$ dağılımında $K$ içeren ardışık üçlülerin sayısı $3$ tür: $(13,14,15),(14,15,16),(15,16,17)$
Bu durumda iki kırmızı kitabın arasında tam olarak bir mavi kitap vardır. Aynı zamanda sıranın sonunda kırmızı kitap vardır. Yine aynı zamanda kırmızı kitapların hiçbiri sıranın başında değildir. O halde yanıt $A,B,D$ şıklarından biri olamaz.

$(C)$ şıkkına bakalım. $MKKMMM\dots M$ dağılımında tam olarak $3$ ardışık üçlü en az bir kırmızı kitap içerir. O halde aradığımız yanıt $(C)$ de değil.