Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2002 Soru 07

[matematikolimpiyati]

Kenar uzunluğu $1$ olan bir $ABCD$ karesinin $[AC]$ köşegeni üzerinde bir $E$ noktası$;\ [AB]$ kenarı üzerinde de bir $F$ noktası alınıyor. $|AE|=|EF|=|FB|$ ise $CEFB$ dörtgeninin alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt2}{4}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt2-1  \qquad\textbf{d)}\ 1-\dfrac{\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac18 (4-\sqrt2)$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$|AE|=|EF|=|FB|=a$ diyelim. $|AF|=1-a$ olur. Ayrıca $m(\widehat{CAB})=45^\circ$ ve $AEF$ ikizkenar dik üçgendir. Bu durumda $CEF \cong CBF$ eş üçgenler olduğundan $|CE|=|CB|=1$ dir. $|AC|=\sqrt{2}$ olduğundan $1+a = \sqrt{2}$ olup $a=\sqrt{2} - 1 $ elde edilir. $Alan(CEFB) = 2 Alan(BCF) =  |FB|\cdot |BC| = a\cdot 1 = \sqrt{2} - 1$ elde edilir.