Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 16

[matematikolimpiyati]

$2x^2+ky^2\equiv z^2\pmod{32}$ denkliğinin$;\ x,y,z$ tek tam sayılar olmak üzere$,$ en az bir çözümünün bulunmasını sağlayan $k$ tam sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \{k:k \equiv 7 \pmod{16} \}  \qquad\textbf{b)}\ \{k:k \equiv 7 \pmod{32} \}  \qquad\textbf{c)}\ \{k:k \equiv 7 \pmod{8} \}$

$\textbf{d)}\ \{k:k \equiv 7 \pmod{4} \}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$x,y,z$ tek sayılar olduklarından $x^2\equiv y^2\equiv z^2\equiv 1\pmod{8}$'dir. Ayrıca $$2x^2+ky^2\equiv z^2\pmod{32}\implies 2x^2+ky^2\equiv z^2\pmod{8}$$ olduğundan $$2+k\equiv 1\pmod{8}\implies k\equiv 7\pmod{8}$$ olmalıdır. Eğer çözüm olmasını sağlayan $k$'ların kümesine $S$ dersek $$S\subseteq \{k\mid k\equiv 7\pmod{8}\}\tag{1}$$ olmalıdır. Şimdi herhangi bir $k\in \{k\mid k\equiv 7\pmod{8}\}$ alalım. $k$ için $4$ olasılık vardır.

$i)$ $k\equiv 7\pmod{32}$ ise $$2x^2+7y^2\equiv z^2\pmod{32}$$ denkliğin çözümü var mı diye bakmalıyız. Eğer $(x,y,z)=(1,1,3)$ seçersek denklik sağlanır. $k\in S$'dir.

$ii)$ $k\equiv 15\pmod{32}$ ise denklik $$2x^2+15y^2\equiv z^2\pmod{32}$$ olacaktır. Eğer $(x,y,z)=(3,1,1)$ seçersek denklik sağlanır. $k\in S$'dir.

$iii)$ $k\equiv 23\pmod{32}$ ise denklik $$2x^2+23y^2\equiv z^2\pmod{32}$$ olacaktır. Eğer $(x,y,z)=(3,1,3)$ seçersek denklik sağlanır. $k\in S$'dir.

$iv)$ $k\equiv 31\pmod{32}$ ise denklik $$2x^2+31y^2\equiv z^2\pmod{32}$$ olacaktır. Eğer $(x,y,z)=(1,1,1)$ seçersek denklik sağlanır. $k\in S$'dir.

Her durumda $k\in S$ olduğundan $$\{k\mid k\equiv 7\pmod{8}\}\subseteq S \tag{2}$$ olacaktır. $(1)$ ve $(2)$'den $S=\{k\mid k\equiv 7\pmod{8}\}$ bulunur.