Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 35

[matematikolimpiyati]

Katsayıları tam sayılar olan ve $5$ farklı tam sayıda $8$ değerini alan bir polinomun en çok kaç tam sayı kökü olabilir?

$\textbf{a)}\ 0$ 
$\textbf{b)}\ 8$ 
$\textbf{c)}\ 5$ 
$\textbf{d)}\ \text{Bu koşulları sağlayan polinom yoktur.}$
$\textbf{e)}\ \text{Bu koşulları sağlayan polinomların tam sayı köklerinin sayıları üstten sınırlı değildir.}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Bu şartı sağlayan bir polinom $P(x)$ olsun. Farklı $a,b,c,d,e$ değerlerinde $P(x)=8$ olsun. O halde $$P(x)=Q(x)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)+8$$ olacak şekilde bir tam sayı katsayılı $Q$ polinomu vardır. Basitçe $Q\equiv 1$ alarak böyle bir $P$ polinomu olduğunu görebiliriz.

$t$ tam sayısı $P$'nin bir kökü olsun. $t\neq a,b,c,d,e$ olduğu barizdir ve $$Q(t)(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)(t-e)=-8$$ $-8$'i en az $5$ farklı tamsayının çarpımı olarak yazmalıyız. $-8$'in tüm bölenleri $-8,-4,-2,-1,1,2,4,8$ olduğundan bunlardan $3$ tanesini veya daha azını çıkartarak kalanların çarpımını $-8$ yapmalıyız. Bu çıkartılan bölenler $x,y,z$ olsun. Dolayısıyla $$-8xyz=(-8)\cdot (-4)\cdot (-2)\cdot (-1)\cdot 1\cdot 2\cdot 4\cdot 8\implies xyz=-512$$ ancak $xyz$'nin alabileceği en küçük değer $(-8)\cdot 8\cdot 4=-256$'dır. Yani $-512$'i elde edemeyiz. Bu polinomun tam sayı kökü olamaz.