Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 26

[matematikolimpiyati]

$O$ merkezli $R$ yarıçaplı bir çemberin $[OA]$ ve $[OB]$ yarıçapları üzerinde sırasıyla $L$ ve $M$ noktaları alınıyor. $AB$ yayının orta noktası $K$ olmak üzere$,\ KLM$ üçgeni eşkenar üçgen ve $Alan(KLM)=\dfrac{(2\sqrt3-3)R^2}{8}$  ise $m(\widehat{AOB})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 15  \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 45  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 75$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Simetriden dolayı $KLOM$ deltoittir. $KLPM$ eşkenar dörtgenini oluşturalım. Açık şekilde $P \in OK$.
Hesap kolaylığı olsun diye $R=2$ alalım.
$[KLM]=\dfrac{KL^2\sqrt 3}{4} = \dfrac{2\sqrt 3 - 3 }2$

$KL^2 = 4-2\sqrt 3 \Longrightarrow KL = \sqrt 3 - 1$, dolayısıyla $KP=3 -\sqrt 3$.
$OK=2$ olduğu için de $OP = 2 - (3-\sqrt 3)=\sqrt 3 - 1 = LP = PM$.
Bu durumda $\angle LOM = \dfrac {\angle LPM}2 = 30^\circ$ olacaktır.