Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 17

[matematikolimpiyati]

$S$ kümesinin her elemanı $T$ kümesinin her elemanından küçük olmak üzere$,\ 1$ den $100$ e kadar olan tam sayılardan $10$ ar elemanlık $S$ ve $T$ kümeleri kaç değişik şekilde seçilebilir?

$\textbf{a)}\ \dfrac12 \dbinom{100}{10} \dbinom{90}{10}  \qquad\textbf{b)}\ \dbinom{100}{10} \dbinom{90}{10}  \qquad\textbf{c)}\ \dbinom{100}{20}  \qquad\textbf{d)}\ \dbinom{100}{10}^2  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed {C}$

$E=\{1,2,\dots, 100\}$ kümesine ait herhangi $20$ elemanlı bir $A$ alt kümesi $\left ( a_1<a_2<\dots < a_{20} \right )$ tek bir şekilde $A=S\cup T$  $\left ( S = \{a_1, a_2, \dots, a_{10}\} \text{ ve } T=\{a_{11}, a_{12}, \dots, a_{20}\} \right )$ olarak yazılabilir. Bu durumda aradığımız yanıt $20$ elemanlı tüm alt kümelerin sayısı olacaktır: $\dbinom{100}{20}$.