2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

$ABC$ dik üçgeninin $[AB]$ ve $[BC]$ dik kenarları üzerinde $D$ ve $E$ noktaları$,\ m(\widehat{BAE})=30^{\circ}$ ve $m(\widehat{BDC})=45^{\circ}$ olacak biçimde alınmıştır. $|AE|=\sqrt3$ ve $|CD|=\sqrt2$ ise $[AE]$ ve $[CD]$'nin kesişim noktası ile $[AB]$ parçası arasındaki uzaklığı bulunuz.

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2(\sqrt3-1)}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{2\sqrt3}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{3\sqrt2}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt2-1  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt3-1}{2}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$AE$ ve $CD$'nin kesişimi $F$ olsun. $B$'yi orijin kabul edersek, $A\left(0,\frac{3}{2}\right)$, $B(0,0)$, $C(1,0)$, $D(0,1)$, $E\left(\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$ olacaktır. $CD$ doğrusunun eğimi $-1$ olduğundan ve $C(1,0)$ olduğundan bu doğrunun denklemi $y=1-x$'dir.

$AE$ doğrusunun eğimi $-\sqrt{3}$ olduğundan ve $A\left(0,\frac{3}{2}\right)$ noktasından geçtiğinden doğru denklemi $y=-\sqrt{3}x+\frac{3}{2}$ olacaktır. Bizden istenilen $F$'nin $x$ koordinatıdır. Bu değer de $$1-x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}x\implies (\sqrt{3}-1)x=\frac{1}{2}\implies x=\frac{1}{2(\sqrt{3}-1)}$$ bulunur.