2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12

[matematikolimpiyati]

Kenar uzunlukları$,\ |AB|=3,\ |BC|=4$ ve $|AC|=5$ olan $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $M$ ve $[AC]$ kenarı üzerinde $N$ noktaları alınmıştır. $[MN]$ parçası $ABC$ üçgeninin alanını yarıya bölüyorsa$,\ [MN]$ parçasının uzunluğu en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$|MC|=m$ ve $|NC|=n$ olsun. Sinüs alan formülünden $$\frac{1}{2}mn\sin C=\frac{3}{10}mn=\frac{3\cdot 4}{4}=3\implies mn=10$$ bulunur. Kosinüs teoreminden, $$|MN|^2=m^2+n^2-2mn\cos C=m^2+n^2-\frac{8}{5}mn\geq 2mn-\frac{8}{5}mn=\frac{2mn}{5}=4$$ elde edilir. Yani $|MN|\geq 2$ olacaktır. Eşitlik durumu $m=n=\sqrt{10}$ durumunda elde edilir.