2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

$\{1,2,3,4,...,20,21,22\}$ kümesinden en az kaç eleman atılmalı ki$,$ geriye kalan sayıların çarpımı bir tam kare olsun?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Verilen kümenin elemanları çarpımı $22!$'dir. Asal bölenleri $2,3,5,7,11,13,17,19$'dur. Asal çarpanların kuvvetleri kolayca hesaplanabilir, $$22!=2^{19}\cdot 3^9\cdot 5^4\cdot 7^3\cdot 11^2\cdot 13\cdot 17\cdot 19$$ olacaktır. Bu sayıyı en az $2\cdot 3\cdot 7\cdot 13\cdot 17\cdot 19$'ya bölersek tamkare elde ederiz. $13,17,19$ sayıları ayrı elemanlar olarak atılmalıdır. Kalan $2\cdot 3\cdot 7$ sayısı tek başına atılamaz ama $6\cdot 7$ olarak yazılırsa $2$ eleman atmak yeterlidir. Toplamda en az $5$ eleman atılmalıdır.