2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[matematikolimpiyati]

Şekilde, $3$ satırı ve $20$ sütunu olan bir tablonun bir parçası gösterilmiştir. I. satırda $1$'den $20$'ye kadar, II. satırda $21$'den $40$'a kadar ve III. satırda da $41$'den $60$'a kadar doğal sayılar sırayla yazılmıştır. Şekilde gördüğünüz $x,\ y$ ve $z$ sayılarının üçü de Ayşe'nin yaşına bölünüyorsa, Ayşe'nin yaşı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$x$'in tam altındaki sayı $x+20$'dir. Dolayısıyla, $y=x+18$'dir. $x$'in iki altındaki sayı $x+40$'dır. Buradan da $z=x+42$ bulunur.  Ayşe'nin yaşı $a$ olsun. $a\mid x,x+18,x+42$ olacağından $a\mid 18$ ve $a\mid 42$ olacaktır. Dolayısıyla, $$a\mid EBOB(18,42)=6$$ olacaktır. Verilen şıklardaki sadece $6$ sayısı Ayşe'nin yaşı olabilir. Örnek olarak $(x,y,z)=(6,24,48)$ seçilebilir.