$d=1,2$ için bu şekilde bir polinom kolaylıkla bulabiliriz. Örneğin, $P(x)=x-1$ ve $Q(x)=x^2-2x+1$.
$d\geq 3$ için bu şartı sağlayan polinomları inceleyelim. Toplam $d+1$ tane katsayı olduğundan en fazla bir tane katsayı $1$'den farklı olabilir. $$P(x)=a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots + a_1x+a_0$$ ve köklerine $x_1,x_2,\dots,x_d$ diyelim. $$x_1^2+x_2^2+\cdots x_d^2=(x_1+x_2+\cdots+x_d)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{d-1}x_d)$$ $$\implies \frac{a_{d-1}^2}{a_d^2}-\frac{2a_{d-2}}{a_d}\geq 0$$ olduğundan $a_d,a_{d-1},a_{d-2}$'den biri $1$'den farklı olmalıdır. Yani $a_{d-3},a_{d-4},\dots, a_0$ katsayılarının hepsi $1$ olmalıdır. $a_0\neq 0$ olduğundan kökler $0$'dan farklıdır. $i=1,2,\dots, d$ için kökleri $\frac{1}{x_i}$ olan bir polinom yazalım. $$P\left(\frac{1}{x}\right)=a_0\left(\frac{1}{x}\right)^{d}+a_1\left(\frac{1}{x}\right)^{d-1}+\cdots+a_{d-1}\left(\frac{1}{x}\right)^{1}+a_d$$ olacağından $Q(x)=a_0x^d+a_1x^{d-1}+\cdots + a_{d-1}x+a_d$ polinomunun kökleri $\frac{1}{x_i}$'lerdir. Bu polinom da soruda verilen şartları sağladığından benzer şekilde $a_0,a_1,a_2$'den biri $1$'den farklı, kalan terimler $1$ olmalıdır. Eğer $d\geq 5$ olursa polinomda $1$'den farklı en az $2$ katsayı olması gerekir. Dolayısıyla $d\leq 4$'dür.
Sadece $d=4$'e örnek vermek yeterlidir. Yukarıdaki çözümden sadece $x^2$'nin katsayısının farklı olması gerektiğini söyleyebiliriz. $$P(x)=x^4+x^3+Ax^2+x+1$$ şeklindeki polinomlarda birkaç deneme yaparsak $A=-4$ için polinomun $4$ tane kökü vardır. Dolayısıyla $d$'nin alabileceği en büyük değer $4$'dür.
