2002 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

$ \left. \begin{align*}
x^6 + 4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5 &= 0 \\
x^5 + 2x^4-x^3-5x^2-10x+5 &= 0
\end{align*} \right\}$ denklemler sisteminin gerçel çözümü $x_0$ ise $3x_0^3+7$ tam sayısının rakamlar toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 16$

[Eray]

Cevap: $\boxed A$
İlk eşitliğin kendisi ile ikinci eşitliğin $-x-2$ katını toplarsak,
$\begin{align*}
0 &= (x^6 + 4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5) + (-x-2)(x^5 + 2x^4-x^3-5x^2-10x+5)\\
&= (x^6 + 4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5) + (-x^6 - 4 x^5 - 3 x^4 + 7 x^3 + 20 x^2 + 15 x - 10)\\
&= x^3 -5
\end{align*}$
elde ederiz. Yani $x_0$ sayısı $x^3-5=0$ denkleminin de çözümüdür. O halde $3x_0^3=15$ ve dolayısıyla $3x_0^3+7=22$ elde ederiz. Aranan rakamlar toplamı ise $2+2=\boxed4$ olur.