Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2005 Soru 12

[matematikolimpiyati]

$D$ noktası, $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde; $E$ noktası da $[AC]$ kenarı üstünde olsun. $5|BD|=3|DC|$ ve $|EC|=2|AE|$ ise $ADE$ üçgeninin alanının, $ABD$ üçgeninin alanına oranı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac49  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac59  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac25  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Verilen uzunluk oranlarından dolayı $\dfrac{Alan(ADE)}{Alan(CDE)} = \dfrac{|AE|}{|EC|}=\dfrac{1}{2}$ dir. $Alan(ADE)=5S$ dersek $Alan(CDE)=10S$, $Alan(ACD)=15S$ olur.
Yine,  $\dfrac{Alan(ACD)}{Alan(ABD)} = \dfrac{|CD|}{|BD|}=\dfrac{5}{3}$ olduğundan $Alan(ABD)=15S\cdot \dfrac{3}{5} = 9S$ bulunur. Buna göre,
$$ \dfrac{Alan(ADE)}{Alan(ABD)} = \dfrac{5S}{9S}=\dfrac{5}{9} $$
oranı bulunur.