Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2005 Soru 07

[matematikolimpiyati]

$n_1,n_2,n_3,n_4,n_5$ farklı doğal sayılar olmak üzere$,$

        $\left| \dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}+\dfrac{1}{n_3}+\dfrac{1}{n_4}+\dfrac{1}{n_5}-1\right|$

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{24}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{16}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{12}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{8}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen ifadenin negatif olamayacağı barizdir. $0$ olabileceğini gösterelim. Yani $$\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}+\dfrac{1}{n_3}+\dfrac{1}{n_4}+\dfrac{1}{n_5}=1$$ olacak şekilde farklı doğal sayılar bulalım. Burada kullanacağımız taktik $\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}$ olmasıdır. Bu taktiği $n+1$ için de uygularsak $$\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}$$ olur. $n+2$ için de uygularsak $$\dfrac{1}{n+3}+\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}$$ $n=2$ için $$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$$ elde edilir. Yani $(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)=(2,5,6,12,20)$ için verilen ifade minimum değeri olan $0$ olur.

Not: Tek eşitlik durumu bu değildir ama bu soru için bir tane örnek vermek yeterlidir.