Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 26

[matematikolimpiyati]

Ondalık yazılımı en az iki tane $5$ ve toplam iki farklı rakam içeren dört basamaklı tam olarak bir tane asal sayı vardır. Bu asal sayının $41$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 26  \qquad\textbf{b)}\ 24  \qquad\textbf{c)}\ 22  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 16$

[vedatde]

Diğer rakam $a$ olsun. En az 2 tane 5 olacağına göre sayıda $a$ rakamı iki tane olsun.
Sayımız iki tane $a$ rakamı ve 2 tane $5$ rakamından oluşuyorsa;
Birler basamağı 5 olanlar 5' e bölünür ve asal olamaz. Öyleyse birler basamağı $a$ olmalıdır.
Toplam $\frac{4!}{2!2!}=6$ sayı yazılabilir. Birler basamağı $a$ olanlar, 
$a55a=1001a+550$ olur. Bu sayı 11' e bölünür. Asal olamaz.
$5a5a=5050+101a$ olur. Bu sayı 101' bölünür. Asal olamaz.
$55aa=5500+11a$ olur. Bu sayı 11'e bölünür. Asal olamaz.

Bu durumda sayıda $a$ rakamı 1 adet ve $5$ rakamı 3 adet olmalıdır.
$5$ rakamı birler basamağında olursa  sayı 5'e bölünür. Asal olamaz.
Öyleyse sayımız $555a$ şeklindedir.
$a$ rakamı 0,2,4,6,8 olursa sayı 2'e bölünür asal olamaz.
$a$ rakamı 3 veya 9 olursa sayı 3'e bölünür asal olamaz.
$a$ rakamı 5 olursa sayı 5'e bölünür asal olamaz. 

Bu durumlarda $a=7$ olmalıdır.
Bu asal sayı ise 5557 sayısıdır. 41'e bölünürse 22 kalanını verir.