Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 27

[matematikolimpiyati]

Her biri $1,2,3$ ten birine eşit olan $10$ tane sayı verilmiştir. Bu sayıların en az yarısı $3$ ise bu sayıların küpleri toplamının bu sayıların toplamına oranı en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[vedatde]

$a$ tane 1, $b$ tane 2 ve $c$ tane 3 olsun. $c\geq5$ , $b\geq1$ ve $a\geq1$ dir.
$a+b+c=10$
sayıların küpleri toplamının sayıların toplamına oranı
$\frac{c3^3+b2^3+a1^3}{3c+2b+a}=\frac{27c+8b+a}{3c+2b+a}$
$=\frac{26c+7b+\left(a+b+c\right)}{2c+b+\left(a+b+c\right)}=\frac{26c+7b+10}{2c+b+10}$
Buradan,
$=\frac{14c+7b+70+12c-60}{2c+b+10}=\frac{7\left(2c+b+10\right)+12c-60}{2c+b+10}$
$=7+\frac{12c-60}{2c+b+10}$ Yine buradan,
$c\geq5$ olduğundan $c=5$ için 
$7+\frac{12c-60}{2c+b+10}\geq7+0=7$
Bu sayıların küpleri toplamının sayıların toplamına oranı en az 7 dir.