Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 27

[matematikolimpiyati]

$x+y \neq 0$ koşulunu sağlayan $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $4x(x+2y)+ \left( \dfrac{1-y^2}{x+y} \right)^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -8  \qquad\textbf{b)}\ -6  \qquad\textbf{c)}\ -4  \qquad\textbf{d)}\ -2  \qquad\textbf{e)}\ 0$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen ifadede $x+y$ yerine $x$ yazarsak herhangi bir şey değişmez. Sadece $x\neq 0$ için $4(x^2-y^2)+\left(\dfrac{1-y^2}{x}\right)^2$ ifadesinin minimum değerini bulmalıyız. Bu ifadede $x$'i sabitlersek ve $y$'ye bağlı bir fonksiyon olarak düşünürsek $$f(y)=4x^2-4y^2+\dfrac{(1-y^2)^2}{x^2}\implies f^\prime (y)=-4y\left(\dfrac{2x^2+1-y^2}{x^2}\right)$$ olur. Yani $f$ fonksiyonunun extremum noktaları $y=-\sqrt{2x^2+1}<-1$, $y=0$ ve $y=\sqrt{2x^2+1}>1$ olacaktır. $y=1$ koyarak $f^\prime(1)=-8<0$ olduğunu ve $f^\prime(y)$ fonksiyonunun $\left (0,\sqrt{2x^2+1}\right)$ aralığında negatif olduğunu çıkartabiliriz. Bu bilgiyle tablo çıkartırsak $y=\sqrt{2x^2+1}$ ve $y=-\sqrt{2x^2+1}$ noktalarında yerel minimum, $y=0$'da ise yerel maksimum olduğunu buluruz. Yani ifademizin minimum değerini $y^2=2x^2+1$ koyarak bulabiliriz (Yerel minimumun en küçük değeri vermesi için fonksiyonun, $y$ artı veya eksi sonsuza giderken yerel minimum değerlerinden daha düşük değerlere gitmemelidir. Bunu göstermiyorum çünkü böyle bir durum olsaydı zaten soru hatalı olurdu.) $$f(\sqrt{2x^2+1})=f(-\sqrt{2x^2+1})=4(x^2-2x^2-1)+\left(\dfrac{1-2x^2-1}{x}\right)^2=-4$$ Yani ifadenin minimum değeri $-4$'dür.

[diktendik]

Yanıt:$\boxed{C}$

İfadeyi açarsak $$4x^2+8xy+(\frac{1-y^2}{x+y})^2$$ elde edilir. $4y^2+4$ ekleyip çıkaralım. $$4x^2+8xy+4y^2+4-4y^2+(\frac{1-y^2}{x+y})^2-4$$ elde edilir. Buda $$(2x+2y+\frac{1-y^2}{x+y})^2-4$$ olur. Bu ifadenin $\geq-$4 olduğu açıktır. Eşitlik durumu $(x,y)=(-1,3)$ olduğunda sağlanır.