Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 13

[matematikolimpiyati]

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde köşegenler $E$ noktasında kesişmektedir. $|AD|=6$, $|AE|=3\sqrt2$, $|ED|=3$, $m(\widehat{DAC})=m(\widehat{BAC})$ ve $m(\widehat{ACD})=m(\widehat{ADB})$ ise $|BC|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 2\sqrt6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt7  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$(AA)$ dan $\triangle EAD \sim \triangle DAC$. $AE:AD = AD:AC \Rightarrow AC = 6\sqrt 2 \Rightarrow EC = 3\sqrt 2$.
$\triangle DAB$ de iç açıortay teoreminden $AD:DE = AB:BE = 2$ ve $AB\cdot AD - BE \cdot ED = AE^2$ den $AB=4$ ve $BE=2$.
$\triangle BAC$ de kenarortay teoreminden $BC^2 + AB^2 = 2(BE^2 + AE^2) \Rightarrow BC^2 = 28 \Rightarrow BC = 2\sqrt 7$.

Not: $DC$ nin ve $BC$ nin $\triangle BAD$ de birer dış açıortay olduğunu, dolayısıyla $C$ nin $\triangle BAD$ nin dış merkezlerinden biri olduğunu dikkatli okuyucu fark edecektir.