Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 23

[matematikolimpiyati]

Her $x$ gerçel sayısı için $(x-27)P(3x)=(27x-27)P(x)$ koşulunu sağlayan ve sabit olmayan $P(x)$ polinomunun gerçel kökleri toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ 30  \qquad\textbf{b)}\ 33  \qquad\textbf{c)}\ 36  \qquad\textbf{d)}\ 39  \qquad\textbf{e)}\ 42$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen denklemde $x=27$ ve $x=1$ yazarsak $P(27)=0$ ve $P(3)=0$ elde edilir. $x=3$ yazarsak $P(9)=0$ elde edilir. Yani $3,9,27$ sayıları polinomun köklerindendir. Eğer $P(x)=Q(x)(x-3)(x-9)(x-27)$ olacak şekilde bir $Q$ polinomu tanımlayıp denklemde yerine yazarsak $Q(3x)=Q(x)$ elde edilir. Eğer $Q(1)=a$ dersek $a=Q(1)=Q(3)=Q(3^2)=\cdots$ olur. Yani $Q(x)-a$ polinomunun sonsuz tane kökü olur, yani $Q(x)\equiv a$ olmalıdır. Buradan $P(x)=a(x-3)(x-9)(x-27)$ elde edilir. $P$ sabit olmadığından $a\neq 0$'dır ve tüm kökleri $3,9,27$ olur ve toplamları $39$'dur.