Cevap: $\boxed{B}$
$y$ bir çözümse $-y$'nin de çözüm olduğu görülebilir. Eğer verilen denklemin tek çözümü varsa bu çözüm $y=0$ olmalıdır. $y=0$ için $a=2(1+2+\cdots+100)=100\cdot 101$ bulunur. Şimdi bu $a$ değeri için $y=0$'dan farklı bir çözüm olmadığını gösterelim. Aksini varsayalım. $y$ çözümse $-y$ de çözüm olduğundan $y>0$ çözümü olduğunu varsayabiliriz.
$y\geq 100$ ise $|y+n|\geq 100+n$ olduğundan $$a=\sum_{n=-100}^{100}|y+n|\geq \sum_{n=-100}^{100}(100+n)=\sum_{n=0}^{200}n=100\cdot 201$$ çelişkisi elde edilir.
$k=0,1,2,\dots,99$ için $y\in (k,k+1]$ ise $n\geq -k$ için $|y+n|=y+n$ olacaktır ve $n<-k$ için $|y+n|=-y-n$'dir. Sonuç olarak $$a=\sum_{n=-100}^{100}|y+n|=\sum_{n=-100}^{-k-1}|y+n|+\sum_{n=-k}^{100}|y+n|$$ $$= \sum_{n=-100}^{-k-1}(-y-n)+\sum_{n=-k}^{100}(y+n)$$ $$=\sum_{n=k+1}^{100}(-y+n)+\sum_{n=-k}^{100}(y+n)$$ $$=-y(100-k)+(99+k)y+100\cdot 101-k(k+1)$$ ve $a=100\cdot 101$ olduğundan $$y(2k-1)=k(k+1)\implies y=\frac{k(k+1)}{2k+1}<k$$ bulunur. Bu da $y\in (k,k+1]$ kabulüyle çelişir. Dolayısıyla $a=10100$ için tek çözüm $y=0$'dır.
