1998 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$ABC$ üçgeninde $[AK]$ açıortayı çizilmiştir ($K$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir). $ABK$ üçgeninin içteğet çemberi ile $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezleri çakışıyorsa, $\hat{ACB}$ açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 54  \qquad\textbf{b)}\ 60  \qquad\textbf{c)}\ 72  \qquad\textbf{d)}\ 75  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{C}$

Çemberlerin merkezine $O$ diyelim ve $\angle{BAO}=x$ olsun.

$ABK$ üçgeninde $O$ noktası iç teğet çemberin merkezi olduğu için $AO$ ve $BO$ açıortaydır. Buradan $\angle{OAK}=x$ olur.

$[AK]$, $ABC$ üçgeninde $A$ açısının açıortayı olduğu için $\angle{KAC}=\angle{KAB}=x+x=2x$ olur.

$O$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğundan $|OA|=|OB|=|OC|$ ve buradan da $\angle{OCA}=\angle{OAC}=3x$

$AOB$ ikizkenar olduğundan $\angle{OBA}=\angle{OAB}=x$

$[OB]$, $B$ açısının açıortayı olduğundan $\angle{CBO}=\angle{OBA}=x$ olur.

$ABC$ üçgeninde iç açılar toplamından $10x=180^{\circ} \implies x=18^{\circ}$ ve böylece $\angle{ACB}=4x=72^{\circ}$ elde ederiz.