Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1998 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$, $[BC]$ ve $[CA]$ kenarları üzerinde sırasıyla $F$, $D$ ve $E$ noktaları alınarak, hipotenüsü $[EF]$ olan $DEF$ ikizkenar dik üçgeni çiziliyor. Bu $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden geçen yükseklik $10$ cm, $|BC|=30$ cm olup $EF$, $BC$ ye paraleldir. $DEF$ üçgeninin çevre uzunluğunu hesaplayınız.

[geo]

$D$ den $EF$ ye inilen dikmenin ayağı $G$, $A$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $AH$ ile $EF$, $I$ da kesişsin.
$\triangle DEF$ ikizkenar olduğu için $|DG| = h$ dersek $|EF| = 2h$ olacaktır.
$DGIH$ bir dikdörtgen olduğu için $|IH| = |DG| = h$ olacaktır.
$EF \parallel BC$ olduğu için $\triangle AFE \sim \triangle ABC$ ve $\triangle AFI \sim \triangle ABH$ dir.
$$\dfrac {|FE|}{|BC|}  = \dfrac {|AF|}{|AB|}= \dfrac {|AI|}{|AH|} $$
$\dfrac {2h}{30} = \dfrac {10-h}{10} \Rightarrow h = 6$ dır.

$\text{Çevre}(DEF) = h\sqrt 2 + h\sqrt 2 + 2h = h(2+\sqrt 2 ) = 12 + 12\sqrt 2 = 12(\sqrt 2 + 1)$ dir.