Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1997 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$a>1$ gerçel sayı olmak üzere, $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarını $a$ cinsinden bulunuz.

[geo]

Açık şekilde $x \geq 0$.

$y > 0$ olmak üzere $a+x = y^2$ olsun.
$\sqrt {a- y} = x$ ve $a-y = x^2$ olacaktır.
$a = y^2 -x = x^2 + y \Rightarrow x^2 -y^2 + x+y = 0 \Rightarrow (x+y)(x-y+1) = 0 $
$y > 0$ ve $x \geq 0$ olduğu için $x+y=0$ dan kök gelmez.
$x-y+1 = 0$ için $y=a-x^2$ eşitliği yerine yazılırsa $x - (a-x^2) + 1 = x^2 + x + 1 - a = 0$ elde edilir.
$x^2 + 2\cdot \dfrac 12 x + \dfrac 14 + \dfrac 34 - a =  \left (x+\dfrac 12 \right )^2 + \dfrac 34 - a = 0 \Rightarrow \left (x+\dfrac 12 \right )^2 = a - \dfrac 34  \Rightarrow x = \pm \sqrt {a- \dfrac 34} - \dfrac 12$.

$x \geq 0$ olduğu için tek çözüm $x = \dfrac {\sqrt {4a-3} - 1}2$ olacaktır.

Not: $a = 1$ olduğunda da çözüm değişmiyor. Bu durumda soru $a \geq 1$ olarak sorulabilirmiş.