Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 26

[matematikolimpiyati]

Bir $n$ pozitif tam sayısının $a$ ile bölümünden kalan $b$ ve $b$ ile bölümünden kalan $a-2$ olacak şekilde $a>2$ ve $b$ pozitif tam sayıları varsa, $n$ ye $özel$ sayı diyelim. Aşağıdakilerden hangisi özel değildir?

$\textbf{a)}\ 89  \qquad\textbf{b)}\ 99  \qquad\textbf{c)}\ 109 \qquad\textbf{d)}\ 119  \qquad\textbf{e)}\ 129$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Kalan, bölenden daha az olacağından $a-2<b<a$ olmalıdır, yani $b=a-1$'dir. $$n=at+(a-1)=(a-1)k+(a-2)$$ formatındadır. Yani $n+1$ sayısı hem $a$ ile hem de $a-1$ ile bölünmelidir. Bu iki sayı her zaman aralarında asal olduğundan $a(a-1)\mid n+1$ olmalıdır.

$n=89,119$ için $a=3$ seçebiliriz. $n=99$ için $a=5$ seçebiliriz. $n=109$ için $a=11$ seçebiliriz. $n=129$ içinse $n+1=130=2\cdot 5\cdot 13$ olduğundan böyle bir $a$ yoktur.