Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 21

[matematikolimpiyati]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çember $[BC]$, $[AC]$ ve $[AB]$ kenarlarına sırasıyla $D$, $E$ ve $F$ noktalarında teğettir. $|AE|=3$ ve $|BD| \cdot |CD|=|BC|+3$ ise, $s(\widehat{BAC})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 30^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 45^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 60^{\circ} \qquad\textbf{d)}\ 75^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$|BD|=|BF|=x$ ve $|CD|=|EC|=y$ olsun. Bu durumda $xy=x+y+3$ olduğu verilmiştir. $s(\widehat{BAC})=\alpha$ diyelim. Kosinüs teoreminden $$(x+3)^2+(y+3)^2-2(x+3)(y+3)\cos\alpha=(x+y)^2$$ olacaktır. Sadeleştirirsek ve $\cos\alpha$'yı çekersek, $$\cos\alpha=\frac{6x+6y+18-2xy}{6x+6y+18+2xy}=\frac{6x+6y+18-2(x+y+3)}{6x+6y+18+2(x+y+3)}=\frac{4x+4y+12}{8x+8y+24}=\frac{1}{2}$$ bulunur. Buradan $\alpha=60^\circ$ bulunur.