Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 19

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $\left (a+\dfrac1b\right) \left(b+\dfrac1a \right)=7$ ise, $\left (a+\dfrac1b\right) \left(b-\dfrac1a \right)$ ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -2  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{C}$

İlk ifade açılırsa $$ab+\frac{1}{ab}+2=7\Rightarrow (ab)^2-5ab+1=0$$ bulunur. İkinci ifade açılırsa $$ab-\frac{1}{ab}$$ bulunur. İlk denklemden $ab$ nin alabileceği değerler toplamı $5$, çarpımı $1$ bulunur. Bu iki değer $x_0,x_1$ olsun. İkinci bulunan ifadenin alabileceği değerler toplamı $$x_0+x_1-\left(\frac{1}{x_0}+\frac{1}{x_1}\right)=x_0+x_1-\left(\frac{x_0+x_1}{x_0x_1}\right)=5-5=0$$ bulunur.