Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 17

[matematikolimpiyati]

$s(\widehat{ABC})=135^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $B$ den geçip $OC$ ye paralel olan doğru $[AO]$ doğru parçasını $D$ noktasında, $B$ den geçip $OA$ ya paralel olan doğru $[OC]$ doğru parçasını $E$ noktasında kesmektedir. $|AD|=1$ ve $|OD|=24$ ise, $|EC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 18$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{E}$

$s(\widehat{ABC})=135^{\circ}$ olduğu için büyük $\overset{\Huge\frown}{AC}$ yayının ölçüsü $270^{\circ}$'dir, dolayısıyla küçük $\overset{\Huge\frown}{AC}$ yayının ölçüsü $90^{\circ}$ olur ve merkez açı özelliğinden $s(\widehat{AOC})=90^{\circ}$ elde edilir. Ayrıca $BD \parallel OE$ olduğundan $s(\widehat{ODB})=90^{\circ}$ ve $BE \parallel OD$ olduğundan $s(\widehat{OEB})=90^{\circ}$'dir. Böylece $ODBE$'nin bir dikdörtgen olduğunu söyleyebiliriz. Yarıçap eşitliğinden $|OB|=|OA|=1+24=25$ ve $DOB$ üçgeninde pisagor teoreminden $|DB|=7$ bulunur. Son olarak $|EC|=|OC|-|OE|=|OB|-|BD|=25-7=18$ sonucuna ulaşırız.