Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 21

[matematikolimpiyati]

$s(\widehat{BAC})=46^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları  $|BD|=|CE|=|AO|$ olacak şekilde alınmıştır. Buna göre $s(\widehat{DOE})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 95^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 99^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 103^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 107^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 111^{\circ}$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{E}$

$[OB]$ ve $[OC]$ yarıçaplarını çizelim. Merkez açı-çevre açı özelliğinden $s(\widehat{BOC})=2 \cdot s(\widehat{BAC})=2 \cdot 46^{\circ} =92^{\circ}$ olur. $|BD|=|AO|=|EC|=|OC|=|OB|$ olduğu için $BDO$ ve $CEO$ üçgenleri ikizkenardır. Bu üçgenlerin taban açılarına $a$ ve $b$, tepe açılarına ise $x$ ve $y$ diyelim. $|AO|=|OB|$ olduğu için $s(\widehat{DAO})=x$ ve $|AO|=|OC|$ olduğu için $s(\widehat{EAO})=y$'dir. Buradan $x+y=46^{\circ}$ yazabiliriz.
$DOB$ üçgeninde iç açılar toplamından $2a+x=180^{\circ}$ ve $EOC$ üçgeninde iç açılar toplamından $2b+y=180^{\circ}$'dir. Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak
$$2a+2b+x+y=360^{\circ} \implies 2(a+b)+x+y=360^{\circ} \implies 2(a+b)=314^{\circ} \implies a+b=157^{\circ}$$
olur. Buradan da $s(\widehat{DOE})=360^{\circ}-(a+b)-92^{\circ}=111^{\circ}$ bulmuş oluruz.