1997 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

$10$ tane farklı nesne ve bundan başka $10$ tane de birbirinin aynısı olan nesne verilmiştir. Bu $20$ nesneden kaç değişik biçimde $10$ nesne seçmek mümkündür?

$\textbf{a)}\ \dbinom{20}{10}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{20!}{10!}  \qquad\textbf{c)}\ 10!  \qquad\textbf{d)}\ \dbinom{20}{10} 2^{10}  \qquad\textbf{e)}\ 2^{10}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Birinci Yol: $11$ çeşit eşya vardır. $10$ tane aynı olan eşyadan $k$ tane seçildiği durumda diğer $10$ farklı eşyadan $10-k$ tane eşya $\dbinom{10}{10-k}$ farklı şekilde seçilecektir. $k=0,1,2,\dots,10$ olabileceğinden dolayı tüm durum $$\sum_{k=0}^{10}\dbinom{10}{10-k}=\sum_{k=0}^{10}\dbinom{10}{k}=(1+1)^{10}=2^{10}$$ olacaktır.

İkinci Yol: $10$ farklı eşyadan herhangi bir sayıda toplam $2^{10}$ eşya seçilebilir ($10$ elemanlı bir kümenin altkümelerinin sayısı). Her seçilen eşyaları $10$ taneye aynı olan eşyalarla tamamlayabiliriz. Her seçim ile bu yöntem arasında birebir örten bir bağıntı kurulabileceğinden toplam $2^{10}$ seçim yapılabilir.