Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 03

[geo]

$N$ sayısının ondalık yazılımında birler basamağındaki rakam $2$'dir. Bu rakamı bulunduğu yerden kaldırıp en başa yazdığımızda elde ettiğimiz sayı $N$'nin iki katı ise, $N$'nin basamak sayısı en az kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 36
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 18
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

[taftazani44]

N=abc...k2 =abc ...k0+2  (n basamaklı bir sayı olsun)
2N=2abc.....k=2000...0+abc ..k
abc....k=x olsun.
N=10x+2
2N=2.10^{n-1}+x
İlk eşitliği 2 ile çarptıktan sonra ikinci ile eşitlersek
19x=2.10^{n-1}-4 elde edilir.
mod 19 da incelersek
n=18 buluruz.

[geo]

$N = a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1 2$ ve $N' = 2a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1$ olsun.

$a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1 = \dfrac {N-2}{10}$ olacağı için $$N' = 2\cdot 10^{n-1} + \dfrac{N-2}{10} = 2N \Longrightarrow 2(10^n - 1) = 19N$$
Bu durumda $10^n  \equiv 1 \pmod {19}$ olmalı.

Fermat'tan $10^{18} \equiv 1 \pmod {19}$ olduğunu biliyoruz; ama bu demek değil ki en küçük $n$ sayısı $18$ dir. ($10$, $\bmod {19}$ da bir ilkek kök ise aradağımız cevap $18$ olacak)

Bu şartı sağlayan en küçük sayı $d$ olsun. $10^{d} \equiv 1 \pmod {19}$ ve $d \mid 18$ olmalı.

$d < 18$ ise  $10^6 \equiv 1 \pmod {19}$ veya $10^9 \equiv 1 \pmod {19}$ olmalı.

$10^2 \equiv 5 \pmod {19}$, $10^3 \equiv 12 \pmod {19}$,  $10^6 \equiv 12^2 \equiv 11 \pmod {19}$, $10^9 \equiv 11 \cdot 12 \equiv 11 \equiv -1 \pmod {19}$ olduğu için $10^n \equiv 1\pmod {19}$ denkliğini sağlayan en küçük $n$ tam sayısı $18$ dir.

Not: Şıklardan gitmek istersek sadece $6$ yı denememiz yeterliydi.