Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 02

[geo]

Kenar uzunlukları $|AB|= 5$, $|BC| = 4$ ve $|AC|= 7$ olan ABC üçgeninin köşeleri merkez alınarak, ikişer ikişer birbirine dıştan teğet üç çember çiziliyor. $B$ ve $C$ merkezli çemberlerin değme noktası $E$ ise, $|AE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt 6
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt 7
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt 5
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt 6
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt 7
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$A$, $B$ ve $C$ merkezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla $x$, $y$, $z$ olsun.

$a = y+z = 4$, $b = x + z = 7$, $c = x + y = 5$

$x+y+z = \dfrac {a+b+c}{2} = 8$

$BE=y=1$ ve $CE=z=3$. Stewart'tan $AE^2 = \dfrac {5^2 \cdot 3 + 7^2\cdot 1}{4} - 3\cdot 1 = 28 \Rightarrow AE = 2\sqrt 7$.

Dikkat edilirse çemberler birbirine içteğet çemberin kenarlara değdiği noktada dokunmakta.