Teklik-çiftlik durumlarını inceleyelim,
$i)$ $n$ çift sayı ise $$3^n+47\equiv (-1)^n+47\equiv 48\equiv 0\pmod{4}$$ olur fakat $20\cdot 5^n-2\equiv 2\pmod{4}$ olduğundan ifade tamsayı olamaz.
$ii)$ $n$ tek sayıysa ya $4k+1$ formundadır ya da $4k+3$ formundadır.
$iia)$ $n=4k+1$ ise $$3^{4k+1}+47\equiv 3\cdot 81^k+47\equiv 50\equiv 0\pmod{5}$$ olur. Dolayısıyla $5\mid (20\cdot 5^n-2)$ olmalıdır fakat bariz bir şekilde bu durum sağlanılmaz.
$iib)$ $n=4k+3$ ise $20\cdot 5^{4k+3}-2=\left (10\cdot 5^{2k+1}\right)^2-2$ olacaktır. $3^{4k+3}+47\equiv (-1)^{4k+3}+47\equiv 2\pmod{4}$ olduğundan $2$'nin bir kuvveti olamaz. Dolayısıyla tek bir asal böleni vardır. Bu bölenlerden biri $p$ olsun. $p\mid \left (10\cdot 5^{2k+1}\right)^2-2$ olduğundan $2$, $p$ modunda karekalandır. $2$'nin karekalan olması için $p$'nin $8m+1$ veya $8m+7$ formatında olması gerekir. Aksi halde karekalan olamaz. $3^n+47$'nin $2$ haricindeki tüm bölenleri $8m\pm 1$ formatında olduğundan $\dfrac{3^n+47}{2}$ de bu asal sayıların çarpımından dolayı $8t\pm 1$ formatında olmalıdır. Yani $3^n+47\equiv \pm 2\pmod{16}$ olmalıdır. $$3^{4k+3}+47\equiv 27\cdot 81^k+47\equiv 27+47\equiv 74\equiv 10\pmod{16}$$ elde edilir. Bu da bir çelişkidir. Yani hiçbir $n$ sayısı için ifade tamsayı olamaz.
