Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 11

[Lokman Gökçe]

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere,

$$\begin{array}[ll] \\
 x & = & y^2 - y - 2 \\
 y & = & -x^2 - x + 2
\end{array}
$$

ise, $x+y$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Denklemleri taraf tarafa toplarsak $x+y = y^2 - x^2 - y - x$ olup $x+y = (x+y)(y-x-1)$ eşitliği elde edilir.

$\bullet $ $x+y=0$ ise son eşitlik sağlanır ve ana denklemlerde $y=-x$ yazılarak $x^2= 2$, $y^2 =2$ elde edilir. Buradan $(x,y)=(\sqrt{2}, -\sqrt{2}) , (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $ ikilileri bulunabilir.

$\bullet $ $x+y\neq 0$ ise $x+y = (x+y)(y-x-1)$  eşitliğinde sadeleştirme yaparak $y-x-1=1$ buluruz. Ana denklemlerde $y=x+2$ yazarsak $(x+2)^2 = -x^2 - x + 2$ olup $2x^2 + 5x + 2 = 0$ denklemi elde edilir. Buradan $x=-\dfrac{1}{2}$, $x=-2$ kökleri bulunur. Böylece $(x,y)=(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}), (-2,0)$ çözümleri elde edilir.

Dolayısıyla $x+y$ toplamı $0, 1, -2$ değerlerini alabilir.