Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 23

[Metin Can Aydemir]

$x$, $y$ ve $z$ birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere, $$x^2+y^2=2x+3y$$ $$y^2+z^2=3y+2z$$ $$z^2+x^2=3z+2x$$ ise, $x+2y+3z$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{D}$

$1.$ ve $2.$ denklemi birbirinden çıkartırsak $x^2-z^2=2(x-z)$ elde ederiz. $x\neq z$ olduğundan $x+z=2$ elde edilir.

$z=2-x$ yazıp $3.$ denklemde yerine yazarsak $x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=3(2-x)+2x=6-x$ elde edilir. Buradan $$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)=0$$ elde edilir. $x=2$ ve $x=-\dfrac{1}{2}$ çözümleri elde edilir.

$x=2$ ise $z=0$ elde edilir. $2.$ denklemde yerine yazarsak $y^2=3y$ olacaktır. $y\neq 0$ olacağından $y=3$ olur. $(x,y,z)=(2,3,0)$ çözümü elde edilir.

$x=-\dfrac{1}{2}$ ise $z=\dfrac{5}{2}$ olur. $1.$ denklemde yerine yazarsak $\dfrac{1}{4}+y^2=-1+3y$ olur. Bu ikinci dereceden denklemi çözersek $y\neq z$ olduğundan $y=\dfrac{5}{2}$ çözümü istenileni sağlamaz. $y=\dfrac{1}{2}$ olacaktır. $(x,y,z)=\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2}\right)$ çözümü elde edilir.

İki çözümde de $x+2y+3z=8$ elde edilir.