Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 12

[Metin Can Aydemir]

Bir sıraya dizilmiş $58$ cücenin $29$ tanesinin kavuğu kırmızı, diğer $29$ tanesinin kavuğu ise beyaz renktedir. Başlangıçta diziliş nasıl olursa olsun, en fazla $k$ tane kırmızı ve en fazla $k$ tane beyaz kavuklu cüceyi sıradan çıkartarak sırada kalan farklı renkte kavuğa sahip en fazla bir ardışık cüce ikilisi bulunması sağlanabiliyorsa, $k$ en az kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 14
\qquad\textbf{b)}\ 16
\qquad\textbf{c)}\ 18
\qquad\textbf{d)}\ 20
\qquad\textbf{e)}\ 24
$

[Squidward]

Cevap: $\boxed{A}$

$58$ kişiyi ilk $29$ ve son $29$ olarak iki gruba ayıralım ve genelliği bozmadan ilk grupta kırmızı kavuklular daha fazla olsun, ilk gruptaki beyazların rengi dolayısıyla $14$ veya $14$ten küçük olacak ve ikinci grupta da kırmızı kavuklular $14$ veya $14$ten küçük olacak dolayısıyla $k=14$ olursa ilk gruptan tüm beyazları, ikinci gruptan tüm kırmızıları çıkartırsak yalnız bir ardışık farklı renkli kavuk sahibi cüce ikilisi olur.

$k=13$ için $KBKBKBKB \dots KBKB$ dizilimini ele alalım. $29$ tane $KB$ var ve her silişte bir tanesini silebiliriz dolayısıyla elimizde en az $3$ $KB$ kalır ve koşul sağlanmaz.