Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 25

[Metin Can Aydemir]

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $E$ ve $F$ noktaları sırasıyla $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarının orta noktalarıdır. $[AE]$ doğru parçası üzerinde bir $K$ noktası ve $[AF]$ doğru parçası üzerinde bir $L$ noktası $|AK|=|LF|$ olacak şekilde alınmıştır. $[KL]$ doğru parçasının orta noktası $M$ olmak üzere, $CM$ ve $EF$ doğrularının kesişim noktası $N$'dir. $|MN|=1$ ise, $|CN|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{2}{3}
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$|LF|=|AK|=x$ ve $|EK|=|AL|=y$ diyelim. Bu durumda $|CF|=x+y$ olur. Eğer $M$'den ve $K$'dan $EF$'ye paralel çizelim ve bu doğruların $AC$'yi kestiği noktalar sırayla $X$ ve $Y$ olsun. $MX$, $KY$, $EF$, $BC$ doğruları birbirine paralel olduğundan benzerlikten $|XL|=|XY|$ olur. $|AK|=x$ olduğundan $|LY|=y-x$ ve $|XL|=\frac{y-x}{2}$ olur. $|XF|=|LF|+|LX|=x+\frac{y-x}{2}=\frac{x+y}{2}$ olduğundan, benzerlikten $$|CN|=\frac{|CN|}{|NM|}=\frac{|CF|}{|FX|}=\frac{x+y}{\frac{x+y}{2}}=2$$ bulunur.