Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 24

[Metin Can Aydemir]

$A_1,A_2,\dots,A_k$ kümeleri $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ kümesinin üç elemanlı alt kümeleridir. Bu alt kümelerin herhangi ikisinin kesişimi en fazla bir eleman içeriyorsa, $k$ en fazla kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

[Squidward]

Cevap: $\boxed{D}$

Bir eleman en fazla $3$ kümede kullanılabilir. $4$ kümede kullanılabileceğini varsayalım, bu elemanın yanında her küme $3$ elemanlı olduğundan $4\cdot2 = 8$ eleman olur fakat $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ kümesinde geriye kalan $7$ eleman vardır dolayısıyla bu 4 kümeden birinde ortak $2$ eleman bulunur, çelişki. $k=9$ olursa, kümelerin eleman sayıları toplamı $9\cdot 3=27$ olur ve güvercin yuvası ilkesinden bir eleman 4 kümede kullanılır, çelişki yani $k<9$'dur.

$k=8$ için örnek verelim: $\{1,2,3\}, \{1,4,5\},\{1,6,7\}, \{2,5,6\}, \{2,7,8\}, \{3,4,7\}, \{3,5,8\}, \{4,6,8\}$