Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2020 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere
$$ \dfrac{17m+43n}{m-n} $$
oranı bir tam sayıysa $(m,n)$ ikilisine özel ikili diyelim. $1,2,3, \dots, 2021 $ sayıları arasından herhangi ikisi özel ikili oluşturmayan en çok kaç sayı seçilebilir?

[Squidward]

$(m, n)$ sayılarının özel ikili olması için $m-n | 17m+43n \Rightarrow m-n | 60m$ olmalıdır. Bu da, $7$'den küçük sayılar $60$'ı böldüğünden $m$ ve $n$ in aralarındaki fark $7$'den küçükse $m$ ve $n$ sayıları özel ikili oluşturur anlamına gelir, bu yüzden verilen kümeden alınan sayılarla oluşturulan içinde özel ikili bulundurmayan kümede en fazla $\lceil \dfrac{2021}{7} \rceil = 289$ sayı olabilir. Sayılar $7k+1$, $k = 0,1,2,3,\cdots, 288$ seçilirse aralarındaki fark $7$ olan $289$ sayı seçilir ve oran, payda $7$'ye bölüneceğinden ve pay bölünmeyeceğinden hiçbir zaman tamsayı değildir.

[Lokman Gökçe]

Tebrikler Squidward, güzel ve sade bir çözüm.