Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 04

[Uygar ÖZTÜRK]

Bir sincap $101$ fındık içeren bir kesedeki fındıkların tümünü ya da bir kısmını üç gün içinde yiyecektir. Bu sincap, ikinci ve üçüncü günlerde eşit sayıda fındık ve her gün en az bir fındık yiyecek şekilde bu işlemi kaç farklı biçimde yapabilir?

$\textbf{a)}\ 2350 \qquad\textbf{b)}\ 2460  \qquad\textbf{c)}\ 2476 \qquad\textbf{d)}\ 2500 \qquad\textbf{e)}\ 2692$ 

[Uygar ÖZTÜRK]

Yanıt: $\boxed{D}$

İlk gün yenen fındık sayısı $x$, ikinci gün ve üçüncü gün $y$ olmak üzere, $x+2y \leq 101$ eşitsizliğini sağlayan $50+2\cdot 49+\cdots + 2\cdot 1 = 2500$ farklı $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır.

[Lokman Gökçe]

İlk gün yenen fındık sayısı $x$, ikinci gün ve üçüncü gün $y$ olmak üzere, $x+2y \leq 101$ eşitsizliğini sağlayan $(x,y)$ pozitif tam sayı ikililerinin sayısını bulmalıyız.

$y=1$ için $x \leq 99$ olup $99$ tane çözüm çifti vardır.
$y=2$ için $x \leq 97$ olup $97$ tane çözüm çifti vardır.
$\vdots$
$y=50$ için $x \leq 1$ olup $1$ tane çözüm çifti vardır.

Toplam, $1+3 + 5 + \cdots + 97 +99 = 50^2 = 2500$ çözüm çifti vardır.