Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 30

[Uygar ÖZTÜRK]

Pozitif bölenleri toplamı $8$ ile tam bölünmeyen bir pozitif tam sayıya $\textit{özel}$ sayı diyelim. Her biri özel sayı olan en fazla kaç ardışık pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

[llqrth]

Cevap: $\boxed{B}$

Öncelikle; $n\equiv -1\pmod{8}$ olmak üzere, hiçbir $n$ sayısının özel sayı olmadığını gösterelim. Bir tam kare $8$ modunda $0, 1, 4$ değerlerini alabilir. Ön kabulden dolayı $n$ çift çarpan içermediğinden $n$'nin çift dereceli asal çarpanları $8$ modunda sadece $1$ değerini alabilir. Bu yüzden çift dereceli asal çarpan sayısının bir önemi yoktur. $n$ asal sayıysa özel sayı olamaz. $n$'nin tek dereceli $2$ asal çarpanı varsa bunlar $8$ modunda $1,-1$ veya $3,-3$ değerlerini alabileceğinden yine özel sayı olamaz. $n$'nin tek dereceli en az $3$ asal çarpanı varsa zaten özel sayı olamaz. Sonuç olarak, en fazla $7$ ardışık özel sayı olabilir. $[3(8-1)^2-3, 3(8-1)^2+3]=[144,150]$ aralığındaki ardışık sayılar örnek olarak gösterilebilir.

[DrLucky]

Cevap: $\boxed{B}$

$n\equiv -1\pmod{8}$ olmak üzere, hiçbir $n$ sayısının özel sayı olmadığını farklı şekilde gösterelim. $n$ 'nin tüm bölenlerinin tek sayı olduğu barizdir. Tek sayıların karesi $\bmod 8$ de $1$ e denktir. Ancak sayımız $-1$ e denk. O halde $p^{2α+1}$ , $n$ 'nin böleni olacak biçimde bir $p$ asalı vardır.($p^{2α+1}$)/($p-1$) sayısı $n$'nin pozitif bölenler toplamının bir bölenidir. $p\equiv -1,1,-3,3\pmod{8}$ olduğundan 8|($p^{2α+1}$)/($p-1$)|(n'nin pozitif bölenler toplamı) 'dır. İspat biter.