Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 11

[matematikolimpiyati]

Aslı, beş günlük kamp sürecinde içinde $99$ soru bulunan bir kitaptaki soruların bir kısmını çözüyor. Her $n= 1,2,3,4$ için, Aslı'nın $n$-inci gün çözdüğü soru sayısı $(n+1)$-inci günün sonunda kitaptaki çözülmemiş soru sayısına eşitse, Aslı'nın üçüncü gün çözdüğü soru sayısı en çok kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 12  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 21  \qquad\textbf{e)}\ 24$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Aslı ilk gün $a$ soru çözsün. Bu durumda $2$. gün sonunda $a$ tane soru kalmış olmalıdır, yani $2$. gün $99-2a$ soru çözmüştür. Aynı mantıkla $3$. gün sonunda $99-2a$ soru kalacağından, $3$. gün de $$99-(99-2a)-(99-2a)-a=3a-99$$ soru çözmüştür. Bu şekilde devam edersek, $4$. gün sonunda $3a-99$ sorusu kaldığından $4$. gün çözdüğü soru sayısı $$99-(3a-99)-(3a-99)-(99-2a)-a=198-5a$$ olacaktır. Bu sayı $5$. gün sonunda kalan soru sayısı olduğundan, $5$. gün $$99-(198-5a)-(198-5a)-(3a-99)-(99-2a)-a=8a-297$$ soru çözmüştür. Bu sayıların hepsi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. Toplamları da, yani $5a-99$ sayısı da, $99$'u geçmemelidir. Dolayısıyla basit bir hesaplamayla, $39\geq a\geq 38$ eşitsizliği bulunur, yani $a=38$ veya $a=39$ olabilir. $a=38$ durumunda $3.$ gün $3\cdot 38-99=15$ soru çözmüştür, $a=39$ ise $3\cdot 39-99=18$ soru çözmüştür. Bu yüzden üçüncü gün çözülen soru sayısı en fazla $18$ olabilir.