Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 06

[Lokman Gökçe]

Pozitif tam bölen sayısı $15$ olan en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır?

$ \textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 14 \qquad\textbf{e)}\ 15 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$n$ sayısın pozitif bölen sayısı $15=3\cdot 5 $ olduğundan $n$ nin ya $1$, ya da $2$ asal çarpanı vardır. $p$, $q$ farklı asal sayılar olmak üzere

$n=p^x$ biçiminde ise pozitif bölen sayısı $x+1=15$ olup $x=14$, $n=p^{14}$ bulunur. Bu şekilde en küçük değer $n=2^{14}$ tür.

$n=p^xq^y$ biçiminde ise pozitif bölen sayısı $(x+1)(y+1)=15$ olup $x=2$, $y=4$ tür. $n=p^2q^4$ bulunur. Bu şekilde en küçük değer $n=2^43^2=144$ tür.

$144<2^{14}$ olduğundan $n=144$ en küçük değerdir. Rakamlar toplamı $1+4+4=9$ olur.