Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 24

[Lokman Gökçe]

Taban yarıçapları $2$ ve $6$ olan dik kesik koninin içine yerleştirilen küre, yanal yüzeye ve tabanlara teğet olduğuna göre, bu kesik koninin hacmi aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ \dfrac{148\sqrt3}{3}\pi \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{164\sqrt3}{3}\pi  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{208\sqrt3}{3}\pi  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{248\sqrt3}{3}\pi \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{324\sqrt3}{3}\pi $

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

Kürenin yarıçapı $r$ olsun.
Kesik koninin yüksekliği $2r$ olacaktır.
Kesik konini tamamlayalım. Eksik kısmın yüksekliği $h$ olsun. Benzerlikten $\dfrac {h}{h+2r} = \dfrac {2}{6} \Rightarrow h = r$ dir.

Bu durumda kesik koninin hacmi $V=\dfrac 13 \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 3r - \dfrac 13 \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot r = \dfrac {104\cdot r}{3} \cdot \pi$ olacaktır.

Kürenin koniye teğetliğini, $AB=12$, $CD=4$, $BC=AD$ olmak üzere, teğetler dörtgeni olan $ABCD$ ikizkenar yamuğu ile ifade edebiliriz.
Teğetler dörtgeninin özelliğinden $BC=AD=6+2 = 8$.
$C$ den $AB$ ye indirilen yükseklik için Pisagor uygularsak $4r^2 = 8^2 - 4^2 = 48 \Rightarrow r = 2\sqrt 3$ elde edilir.

Bu durumda $V = \dfrac {104\cdot r}{3} \cdot \pi = \dfrac {208\sqrt 3}{3}\pi$ olacaktır.