Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 18

[Lokman Gökçe]

Rastgele seçilen altı basamaklı bir doğal sayının tam olarak iki basamağında $1$ bulunması olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{63}{755} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{81}{800}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{7}{45}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{51}{101} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Tüm altı basamaklı doğal sayıların sayısı $ 9 \cdot 10^5 $ tir. Şimdi tam olarak iki basamağında $1$ bulunanları hesaplayalım. Bunun için iki alt durumda inceleyebiliriz:

$1$ rakamı ile başlayanları bulalım. Diğer $1$ in gelebileceği $\dbinom{5}{1}=5$ yer vardır. Kalan $4$ basamağı $9^4$ yolla doldurabiliriz. Buradan $5\cdot 9^4$ durum elde edilir.
$1$ rakamı ile başlamayanları bulalım. $1$ lerin gelebileceği $\dbinom{5}{2}=10$ yer vardır. En soldaki basamağa $0$ yazılamayacağı için, burayı $8$ yolla doldurabiliriz. Kalan $3$ basamağı $9^3$ yolla doldurabiliriz. Buradan $ 10\cdot 8 \cdot 9^3 $ durum elde edilir. Böylece istenen olasılık
$$ \dfrac{5 \cdot 9^4 + 10\cdot 8 \cdot 9^3}{9\cdot 10^5} = \dfrac{5 \cdot 9^3 \cdot (9 + 16) }{9\cdot 10^5}  = \dfrac{81}{800} $$
bulunur.