Polinom Denklemleri ve Denklem Sistemleri Üzerine

[AtakanCİCEK]

$1)$  \begin{equation*}
\begin{cases}
4m^2n^2+mn^2-3n^3+4mn+1=7n^2,
\\
3mn-3n^2-n+1=0
\end{cases}
\end{equation*}

denklem sistemini reel sayılar kümesinde çözünüz.

$2)$

\begin{equation*}
\begin{cases}
x-y+z-w=2,
\\
x^2-y^2+z^2-w^2=6,
\\
x^3-y^3+z^3-w^3=20,
\\
x^4-y^4+z^4-w^4=66
\end{cases}
\end{equation*}
Denklem sistemini reel sayılarda çözünüz.


$3)$ \begin{equation*}
\begin{cases}
x+3y^4=10x^2y^5,
\\
2x^2y-xy^5=1
\end{cases}
\end{equation*}
Denkleminin reel sayılar kümesinde kaç çözümü vardır ?

$4)$  $2x^2+2020x-2021=(x^2+x-1).2019^{x^2+2019x-2020}+(x^2+2019x-2020).2019^{x^2+x-1}$ denklemini reel sayılar kümesinde çözünüz. (Romanian Mathematical Magazine)

[samienes06]

1) İlk denklemi $(2mn+1)^2+n(mn)=3n^3+7n^2$ olarak düzenleyelim. İkinci denklemden $mn$'i yalnız bırakarak ilk denkleme yazalım.

$(2\cdot \dfrac{3n^2+n-1}{3}+1)^2+n(\dfrac{3n^2+n-1}{3})=3n^3+7n^2$ elde edilir.

Denklem düzenlendiğinde $36n^4+6n^3-44n^2+n+1=0$ haline gelir. Bu ifadenin $(6n^2+an+b)(6n^2+cn+\dfrac{1}{b})$ şeklinde çarpanlara ayrılabildiğini varsayalım ve ifadeyi dağıtıp katsayıları deneyerek bulduğumuzda $b=1,a=8,c=-7$ için sağlandığını görürüz.

Denklemimiz en son $(6n^2+8n+1)(6n^2-7n+1)=0$ haline gelir. Buradan 4 adet $n$ kökü gelmektedir.

$mn=\dfrac{3n^2+n-1}{3}$ idi ve $m$'yi tanımsız yapabilecek durum $n$'nin 0 olma durumudur ve o da burada geçerli değildir. $n$ değerleri bulunup yerine koyulduğunda 4 adet $(m,n)$ ikilisi bulunur.

$(\dfrac{-3}{2},\dfrac{1}{6})$,  $(1,1)$,  $(1-\sqrt{\dfrac{5}{2}},\dfrac{-2}{3}-\dfrac{\sqrt{\dfrac{5}{2}}}{3})$,  $(1+\sqrt{\dfrac{5}{2}},\dfrac{-2}{3}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{5}{2}}}{3})$ olmak üzere $(m,n)$ ikilileri gelir.

[samienes06]

3)  $\begin{equation*} \begin{cases} x+3y^4=10x^2y^5, \\ 2x^2y-xy^5=1 \end{cases} \end{equation*}$

İkinci denklemde $2x^2y$'yi yalnız bırakalım. $2x^2y=xy^5+1$ ifadesinin iki tarafını da $5y^4$ ile çarpalım ve elde edeceğimiz ifadeyi ilk denkleme yazacağız. $10x^2y^5=5y^4+5xy^9$ ifadesini ilk denkleme yazdığımızda $x+3y^4=5y^4+5xy^9$'i elde ederiz ve burada $x$'i $y$ cinsinden yazabiliyoruz.

$x=\dfrac{2y^4}{1-5y^9}$ olur ve buradan $x$'i orijinal ikinci denklemde yerine koyalım. $\dfrac{8y^9}{(1-5y^9)^2}=\dfrac{2y^9}{(1-5y^9)}+1$ denkleminde paydalar eşitlenip ifade sadeleştirildiğinde son hali $15y^{18}-16y^9+1=0$ olur ve $(y^9-1)(15y^9-1)=0$ şeklinde çarpanlarına ayrıldığında iki reel kökünün olduğu görülebilir.

$x=\dfrac{2y^4}{1-5y^9}$ eşitliğinde $y$ değerleri yerine koyulduğunda her $y$ için bir $x$ değeri gelmektedir. Yani çözüm olarak iki tane $(x,y)$ ikilisi vardır.

[samienes06]

4) $(x^2+2019x-2020)+(x^2+x-1)=(x^2+x-1).2019^{x^2+2019x-2020}+(x^2+2019x-2020).2019^{x^2+x-1}$ şeklinde yazdığımızda ortak çarpanları görebiliriz. Denklemi şu hale getirelim:

$(x^2+2019x-2020).(1-2019^{x^2+x-1})=(x^2+x-1).(2019^{x^2+2019x-2020}-1)$

Eşitliğin solundaki ve sağındaki ifadelerin işaret tablosunu yaptığımızda fark ederiz ki işaret tablolarının kökleri aynıdır ama işaretler aynı bölgelerde hep zıttır. Yani denklem sadece ifadelerin $0$ olduğu yerde sağlanabilir.

$(x^2+x-1).(2019^{x^2+2019x-2020}-1)=0$ denklemini çözersek 4 adet kök gelir.

[Metin Can Aydemir]

$2)$ Bilinmeyenlerden $(x,z)$ ile $(y,w)$'nin katsayısının işaretleri aynı olduğundan birlikte değerlendirelim. $$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$$ $$m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)$$ $$m^4+n^4=(m+n)^4-4mn(m+n)^2+2(mn)^2$$ ifadeleri $m+n$ ve $mn$ cinsinden şekildeki gibi yazılabildiği için $x+z=a$, $y+w=b$, $xz=c$ ve $yw=d$ yazıp yeniden düzenlersek $$a-b=2 \tag {1}$$ $$(a^2-2c)-(b^2-2d)=6 \tag {2}$$ $$(a^3-3ac)-(b^3-3bd)=20\tag {3}$$ $$(a^4-4a^2c+2c^2)-(b^4-4b^2d+2d^2)=66\tag {4}$$ elde ederiz. $(2)$ ve $(3)$ no'lu eşitlikte $a=b+2$ yazarsak, $$c-d=2b-1\tag {5}$$ $$b(c-d)+2c=2b^2+4b-4\Rightarrow 2c=2b^2+4b-4-b(2b-1)\Rightarrow c=\dfrac{5b-4}{2}\tag {6}$$ $(6)$ no'lu denklemi $(5)$'de yazarak $d=\dfrac{b-2}{2}$ bulunur. $a,c,d$ değerlerinin hepsinin $b$ cinsinden değerini bildiğimize göre bunları $(4)$ no'lu denklemde yazar ve sadeleştirme işlemlerini yaparsak, $b=2$ bulunur.

$b=2$ için $(a,b,c,d)=(4,2,3,0)$ bulunur. Yani $x+z=4$, $xz=3$, $y+w=2$, $yw=0$ bulunur ki bunların çözümleri de $(x,z)=(1,3),(3,1)$ ve $(y,w)=(0,2),(2,0)$'dır. Çözümleri birleştirirsek, $(x,y,z,w)=(1,0,3,2),(1,2,3,0),(3,0,1,2),(3,2,1,0)$ çözümleri gelir.