2000 JBMO Shortlist'den Dörtgen Alan {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

2000 Junior Balkan Shortlist'den hoş bir problem sunalım:


Soru: $m(\widehat{DAB})=60^\circ$, $m(\widehat{ABC})=90^\circ$, $m(\widehat{BCD})=120^\circ$ olan $ABCD$ dörtgeninin $[AC]$, $[BD]$ köşegenleri $M$ noktasında kesişiyor. $|MB|=1$, $|MD|=2$ olduğuna göre, $ABCD$ dörtgeninin alanını bulunuz.

[Can Muharrem ÖZKAN]

İlk iletim, umarım doğru paylaşmışımdır. Sevgi ve saygılarımla...

Karşılıklı açılar toplamı $180^\circ$ olduğundan $ABCD$ kirişler dörtgenidir. $\widehat{B}$ ve $\widehat{D}$ dik açılar olduğundan $[AC]$ çaptır. $O\in [AC]$ çemberin merkezi olsun. $OBD$ ikizkenar üçgeninin açıları $30^\circ - 30^\circ - 120^\circ $ olduğundan yarıçap $\sqrt{3}$ olur. $DO$ doğrusu çemberi $E$ de kessin. $\widehat{DBE}=90^\circ$ ve $OBE$ üçgeni eşkenardır. $O$ dan $[BD]$ ye inen dikme ayağı $H$ olsun. $|MH|=\dfrac{1}{2}$ ve $EB \parallel OH$ dır. Orta tabandan $|OH|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dir. $OMH$ üçgeninin açıları $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ $ üçgenidir. $m(\widehat{BOM})=30^\circ$, $m(\widehat{BAC})=15^\circ$ dir. $ABC$ üçgeninin açıları $15^\circ - 75^\circ - 90^\circ $ dır. $h-4h$ yükseklik taban ilişkisinden $Alan(ABCD)=Alan(ABC)+Alan(ADC)= \dfrac{9}{2}$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Sitemize hoşgeldiniz, çözümler için teşekkür ederiz.

Kullanıcılarımızdan şöyle bir ricamız var: Resim dosyalarını mümkünse sadece çözümü destekleyici çizimler için kullanınız. Çünkü tecrübelerimiz gösterdi ki, yazılı biçimde ifade edilen çözümler bozulmadan korunabilirken zamanla resim dosyalarının başına iş gelebilmektedir. Öte taraftan yüklenen resim dosyaları zamanla forumu yavaşlatıyor. Emeklerin kaybolmaması için yazı formatına önem veriyoruz. $\LaTeX$ kullanımı için Yardım bölümünü inceleyiniz. İyi çalışmalar dileriz.