$\dfrac{2x^2-1}{2y^2+3}$ ifadesi tamsayı mıdır?

[MATSEVER 27]

$x,y$ tamsayılar olmak üzere hiçbir $x,y$ sayısı için $\dfrac{2x^2-1}{2y^2+3}$ ifadesinin tamsayı olamayacağını gösteriniz.

[Abdullah demircan]

p asal sayi olmak üzere $p|4y^{2}+6$ olsun. O zaman -6 kare kalandır. Ayrıca $p|4x^{2}-2$ de olmalı. O zaman 2 de kare kalan olur. -6 ile 2 kare kalansa -3 de kare kalandır. -3 kare kalan olduğu için $p \equiv 1 \pmod {3}$ olur. Yani $2y^{2}+3$'ün her asal böleninin 3 ile bölümünden kalan 1'dir, o zaman bu sayı da öyledir fakat -1 mod 3'te kare kalan olmadığı için bu mümkün değildir.

[Metin Can Aydemir]

p asal sayi olmak üzere $p|4y^{2}+6$ olsun. O zaman -6 kare kalandır. Ayrıca $p|4x^{2}-2$ de olmalı. O zaman 2 de kare kalan olur. -6 ile 2 kare kalansa -3 de kare kalandır. -3 kare kalan olduğu için $p \equiv 1 \pmod {3}$ olur. Yani $2y^{2}+3$'ün her asal böleninin 3 ile bölümünden kalan 1'dir, o zaman bu sayı da öyledir fakat -1 mod 3'te kare kalan olmadığı için bu mümkün değildir.

$p=3$ olmasının neden çelişki doğurduğunu da belirtmek gerekiyor. Ayrıca, $p\mid 4y^2+6$ olarak tanımlamaktansa $p\mid 2y^2+3$ olarak tanımlamak daha doğru olur çünkü $p=2$ durumunu direkt elemiş oluyoruz. Şu anki halinde $p=2$ için bu karekalanlıktan bahsedemeyiz.

[Abdullah demircan]

p asal sayi olmak üzere $p|4y^{2}+6$ olsun. O zaman -6 kare kalandır. Ayrıca $p|4x^{2}-2$ de olmalı. O zaman 2 de kare kalan olur. -6 ile 2 kare kalansa -3 de kare kalandır. -3 kare kalan olduğu için $p \equiv 1 \pmod {3}$ olur. Yani $2y^{2}+3$'ün her asal böleninin 3 ile bölümünden kalan 1'dir, o zaman bu sayı da öyledir fakat -1 mod 3'te kare kalan olmadığı için bu mümkün değildir.

$p=3$ olmasının neden çelişki doğurduğunu da belirtmek gerekiyor. Ayrıca, $p\mid 4y^2+6$ olarak tanımlamaktansa $p\mid 2y^2+3$ olarak tanımlamak daha doğru olur çünkü $p=2$ durumunu direkt elemiş oluyoruz. Şu anki halinde $p=2$ için bu karekalanlıktan bahsedemeyiz.

x ve y'nin katsayısı tamkare olsun diye 2 ile çarptım hocam başka türlü kare kalanlığı göremedim çünkü

[AtakanCİCEK]

Bu soru Jacobi fonksiyonlarından direkt çıkıyor gibi geliyor bana. (Bu fonksşiyon zaten yukarıda yapılan seçimleri otomatik olarak değerlendiren genel bir fonksiyon).  $2y^2+3=d$  ve $(2,d)=1$ olduğunu not edebiliriz. Buradan ifadenin sonucuna $k\in Z^+$ tanımlarsak $$2x^2=k.(2y^2+3)+1$$  ve buradan $$2x^2\equiv 1\pmod d$$ geliyor.  Bu da bize $\left( \dfrac{2}{d} \right) =1$ olması gerektiğini gösterir. Ancak $2y^2+3\equiv \{3,5 \} \pmod 8$ olduğu için  ve $\left( \dfrac{2}{d} \right) =(-1)^\dfrac{d^2-1}{8}=-1$ geldiğinden çelişiyor.