Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 15

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $x(2x+a)<b$ eşitsizliğini sağlayan $x$ gerçel sayılarının kümesi $(-1,2018)$ açık aralığı ise, $a+b$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$m>0$ olmak üzere $mx^2+nx+k$ polinomun negatif olduğu aralık, $x_0<x_1$ kökleri olmak üzere $(x_0,x_1)$'dir (eğer iki tane kökü yoksa polinom negatif olamaz). Dolayısıyla, soruda verilen $2x^2+ax-b$ polinomunun negatif olduğu aralık $(-1,2018)$ olduğundan $-1$ ve $2018$ kökleridir. $$2x^2+ax-b=2(x+1)(x-2018)=2x^2-4034x-4036\implies (a,b)=(-4034,4036).$$ Dolayısıyla, $a+b=2$'dir.