Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 31

[AtakanCİCEK]

$0<x\leq {1}$ olmak üzere, $\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{1-x}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{5} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[AtakanCİCEK]

Yanıt:$\boxed{B}$

$(\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{1-x}) \prime = 0$ denklemini çözüp ekstremum değerleri bulalım.

Türevi alırsak;
$d\frac{-2}{x^2\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}}+\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}=0$ denklemini elde ederiz.

İfadeyi düzenleyip her tarafın karesini aldığımızda
$x^4+4x^3+16x-16=0$ denklemi elde edilir.

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+4x^3+16x-16$ yazıp katsayıları eşitlersek

$a+c=4$

$ac+b+d=0$

$ad+bc=16$                     
$bd=-16$  denklemlerinden $a=0$, $b=4$, $c=4$ ve $d=-4$ bulunur.

$(x^2+4).(x^2+4x-4)=0$ elde ettik.

Sol tarafın da diskriminantı $0$ dan küçük olduğundan reel kökü yoktur.

$x^2+4x-4$ ifadesindeki kökler  $x=\dfrac{-4+\sqrt{32}}{2}$ veya $x=\dfrac{-4-\sqrt{32}}{2}$ bulunur.

$0<x\leq 1$ olduğundan   $x=\dfrac{-4+\sqrt{32}}{2}$ yani $x=2\sqrt{2}-2$ olmalıdır.

$1+\dfrac{4}{x}=1+\dfrac{2}{\sqrt{2}-1}$ yani $3+2\sqrt{2}$ ve $1-x=3-2\sqrt{2}$ olduğundan $\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{1-x}$ ifadesi düzenlendiğinde $\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)=2$ olduğundan
$0<x\leq{1}$ için $\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}-\sqrt{1-x}\geq{2}$ bulunur.

[Squidward]

İfadenin pozitif olduğu barizdir. İfadenin karesini alırsak ve ifadeye $A$ dersek $A^2 = 2 + \frac{4}{x} - x - 2 \sqrt{\frac{4}{x} - x -3}$ olur. Kare içindeki ifadeye $u$ dersek ifade $A^2 = u + 5 - 2\sqrt{u}$ olur. Minimum bulma adına tam kare oluşturursak $A^2 = (\sqrt{u} - 1)^2 + 4$ olur ifademiz ve minimum olması için $\sqrt{u} = 1$ olmalı. Kontrol edilirse $x$'in $(0, 1]$ aralığında olduğu görülür, ifade pozitif olduğundan $\min{A} = 2$dir.