Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 32

[AtakanCİCEK]

$26$ takımın katıldığı bir turnuvada her takım ikilisi arasında tam olarak bir maç yapıyor. $A$ takımı $B$ takımını, $B$ takımı $C$ takımını, $C$ takımı da $A$ takımını yenerse ${A,B,C}$ kümesine tuhaf küme diyelim. Bu turnuvada tuhaf küme sayısı en çok kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 684  \qquad\textbf{b)}\ 694    \qquad \textbf{c)}\ 712   \qquad \textbf{d)}\ 728    \qquad\textbf{e)}\  736 $

[Kerem123]

Tuhaf olmayan her {A,B,C} k¨umesinde bir takımın di˘ger iki takımı yenmesi gerekiyor. m tane takımı yenmi¸s her takım m2tane tuhaf olmayan k¨ume olu¸sturacaktır. Demek ki tuhaf olmayan k¨umelerin sayısının en az olması i¸cin takımların kazandıkları ma¸c sayıları bibirlerine m¨umk¨un oldukca yakın olmalıdır ve bu durumda da 13 takımın 13, kalan 13 takımın ise 12 takımı yenmesi gerekiyor. Bunun i¸cin bir ¸cember ertafına dizilmi¸s 26takımın her birinin saat y¨on¨undeki ilk 12 takımı yenmesi gerekiyor, di˘ger ma¸c sonu¸cları ¨onemli de˘gildir. Sonu¸c olarak cevap: (26nın 3kombinasyonu)-13(13 ün 2 li kombinasyonu) -13(12nin 2 li kombinasyonu) =728

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

Cevap: $728$.

Tuhaf olmayan her $\{A, B, C\}$ kümesinde bir takımın diğer iki takımı yenmesi gerekiyor. $m$ tane takımı yenmiş her takım $\binom m2$ tane tuhaf olmayan küme oluşturacaktır. Demek ki tuhaf olmayan kümelerin sayısının en az olması için takımların kazandıkları maç sayıları birbirlerine mümkün oldukça yakın olmalıdır ve bu durumda da $13$ takımın $13$, kalan $13$ takımın ise $12$ takımı yenmesi gerekiyor. Bunun için bir çember ertafına dizilmiş $26$ takımın her birinin saat yönündeki ilk $12$ takımı yenmesi gerekiyor, diğer maç sonuçları önemli değildir. Sonuç olarak cevap: $$\dbinom {26}{3}-13\dbinom {13}{2} - 13\dbinom {12}{2}=728.$$

Kaynak: Tübitak 26. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2018